为t的边.t的任意10条两两无公共端点的边的集合称为t的一个完美匹配.当t取遍p的所有三角剖分图时，求t的完美匹配个数的最大值.
重新看了一遍题目后吴枫提笔开始解答。
解：将20边形换成2n边形，考虑一般的问题.
对凸2n边形p的一条对角线，若其两侧各有奇数个p的顶点，称其为奇弦，否则称为偶弦，首先注意下述基本事实：
对p的任意三角剖分图了，t的完美匹配不含奇弦。
如果完美匹配中有一条奇弦e，因为t的一个完美匹配给出了p的顶点集的一个配对划分，而g两侧各有奇数个顶点，故该完美匹配中必有t的另一条边e.，端点分别在q的两侧，又p是凸多边形，故e与e在p的内部相交，这与t是三角剖分图矛盾。
下面对n归纳证明：若t是凸2n边形的任意一个三角剖分图，则f(t)sf..设p=aa…a，是凸2n边形，从p的2n条边中选a条边构成完美匹配，恰有两种方法，44，4,4.…，44，或4，4，44…，444，4.
当n=2时，凸四边形p的三角剖分图7没有偶弦，因此t的完美匹配只能用p的边，故f(t)=2=f.
当n=3时，凸六边形p的三角剖分图7至多有一条偶弦，若7没有偶弦，同上可知f(t)=2.若了含有偶弦，不妨设是aa，选用aa，的完美匹配是唯一的，另两条边只能是a，a，a.a，此时f(t)=3.总之f(t)＜3=f.
结论在n=2，3时成立，假设n24，且结论在小于n时均成立，考虑凸2n边形p=aa.…a，的一个三角剖分图t.若t没有偶弦，则同上可知f(t)=2.
对于偶弦e，记e两侧中p的项点个数的较小值为w(e).若t含有偶弦，取其中一条偶弦e使w(e)达到最小。设w(e)=2k，不妨设e为4，4x.t，则每个a(i=1,2…,2k)不能引出偶弦.
事实上，假设aa，是偶弦，若js(2k+2.2k+3…，2n1，则a.a与e在p的内部相交，矛盾，若je(1.2…，2k+1.2，则w(a4)＜2k，与w(e)的最小性矛盾，
又由(*)知完美匹配中没有奇弦，故4.4，…，4，只能与其相邻顶点配对，特别地，4只能与4、或a、配对，下面分两种情况.
情形1：选用边4.4，.则必须选用边4,4.…，4m4，.注意到4，4.的两侧分别有2k，2n2k2个顶点，2n2k22w(a，4m)=2k，而n24，因此
2n2k26.在凸2n2k边形p=a.a…4，上，t的边给出了p的三角剖分图t，在t中再选取nk条边q，g…，e，与a4，4，a，，am4，一起构成t的完美匹配，当且仅当e，e.…，e是t的完美匹配.故情形1中的t的完美匹配个数等于f(t）.………20分
情形2：选用边4.4，.则必须选用边44，…，4，4.在凸2n2k2边形b=aa…a中构造如下的三角剖分图t，：对2k+2si＜\/s2n1，若线段a4是t的边，则也将其作为t的边，由于这些边在内部互不相交，因此可再适当地添加一些的对角线，得到一个的三角剖分图t，它包含了t的所有在顶点a..4…，4之间的边.因此每个包含边a，a，4，4，…，a，4的t的完美匹配，其余的边必定是t的完美匹配.故情形2中的t的完美匹配个数不超过f(t).
由归纳假设得f(t)sf，f(t)sf_，结合上面两种情形以及k21，有f(t)sf(t)+f(t)sfa+f=fusf.
下面说明等号可以成立，考虑凸2n边形aa…4，的三角剖分图a，：添加对角线4.4.4.4.4.4，44.4.4…a.4.4.重复前面的论证过程，f(a.)=2，f(a，)=3.对a，·n24，考虑偶弦a4.情形1，用a.4.，由于在凸2n2边形aa…4，中的三角剖分图恰是a，此时有f(a.)个t的完美匹配.情形2，用aa.，由于在凸2n4边形aa.···a.中t的边恰构成三角剖分图a，不用添加任何对角线，故这一情形下t的完美匹配个数恰为f(az).从而对n24，有
f(a)=f(a)+f(a).
由数学归纳法即得f(a)=f.结论得证.
因此，对凸20边形p，f(t)的最大值等于fa=89.
算完后吴枫也是松了口气，果然不管难易都要全力以赴，否则容易在阴沟里翻船。
第18章 怪异难题[2/2页]